从左至右：主持人 Lex Fridman、Alex Kontorovich、Ankur Moitra、Steven Brunton。题图由本期视频截图经 AI 辅助拼接。
10 月 6 日晚间，罗格斯大学数论学家 Alex Kontorovich 在纽约国家数学博物馆的晚宴上，一手端着威士忌一手刷手机。OpenAI 刚刚在 GitHub 上放出 722 篇 AI 生成的数学论文。他翻到"准黎曼猜想"这几个字的时候，完全无法处理眼前的信息。
准黎曼猜想触及的是数论里一个七十年没有实质性推进的问题。Alex 做数论，他太清楚七十年意味着什么。"I could not compute what I was seeing." 他说那一刻大脑完全停转。一个月之内，他的认知模型被打碎了三次。“我没想到有生之年能看到准黎曼猜想的证明。”Alex Kontorovich 在访谈中说。
这是 Lex Fridman Podcast 第 503 期的录制背景。Lex 请来三位数学家做了一期"紧急节目"：Alex 之外，还有华盛顿大学流体力学专家 Steven Brunton 和 MIT 理论计算机科学家 Ankur Moitra（本年度在普林斯顿高等研究院做访问学者）。请这三位，是因为他们的研究方向恰好被 AI 逐个击穿了。Steve 的领域是流体力学，9 月 8 日 OpenAI 公布了纳维-斯托克斯方程的有限时间爆破证明，证明了描述流体运动的这个方程的解可以在有限时间内失控到无穷大。Alex 的领域是数论和形式化，9 月 4 日 Anthropic 用 Claude 完成了费马大定理的 Lean 形式化证明。Lean 是一种让计算机逐行检查数学证明的软件，这份证明总共 1300 万行代码，11 天完成。Ankur 的领域是复杂性理论，专门研究哪些问题从根本上很难算。10 月 6 日那批 722 篇论文里就包括唯一博弈猜想的证明。
播客录完不到三周，也就是播客上线的几乎当天。10 月 26 日，OpenAI 又公布了三个新结果，分别落在数学、计算机科学和物理三个领域，其中两个直接触及节目里讨论的核心问题，一个涉及另一道 Clay 千禧年级别的难题。Clay 数学研究所在 2000 年列出了七个悬赏一百万美元的数学问题，至今只有一个被解决。
1. "解决公理"：就算 AI 能独自做到一切，数学也不会被摧毁
Alex 和同事 Thomas Goberta 一起做了一个思想实验。他们定义了一条假设前提，叫"解决公理"：任何人类与 AI 协作能够解决的数学问题，AI 独自也能解决。
可以拿国际象棋做参照。"半人马对弈"的概念曾经很流行，一个人加一台引擎组队，对抗另一组人加引擎。但这种玩法的生命周期极短，因为引擎变得太强，人类唯一能做的就是接受它推荐的第一步棋。
Alex 本人并不相信这条公理。但他认为就算它成立，数学也不会被"摧毁"。纯数学的定理如果只以数据中心里的 0 和 1 的形式存在，对人类并没有价值。数学的价值在于它活在人类的头脑中。
Ankur 的态度更审慎。他指出，人们在理解 AI 为什么能成功的时候，最大的危险是拟人化。MIT 的 Alex Madry 做过一组对抗性机器学习实验。对抗性机器学习专门研究怎么欺骗 AI 系统：在一张猫的图片上加几个人眼看不见的像素点，AI 就会把它认成狗，这种被动过手脚的图片叫对抗样本。Madry 的实验揭示了一个关键事实：深度学习系统识别猫和狗时用的是大量人类察觉不到的统计关系，对抗样本在这个系统里是一种"feature"而非"bug"。Ankur 读过 OpenAI 的多份证明后说，"它们看起来根本不像是人做出来的。"
这种质性差异恰恰是合作的机会。它指向的是"半人马数学"的可能性，而非"AI 霸主"的终局。
2. "凸包"和"半群"：AI 到底有没有扩展数学的边界
有人把 AI 的进展贬低为"凸包"。凸包是几何里的一个概念：给你平面上一堆点，把所有点都包住的最小凸多边形就是凸包。直觉上可以想成拿一根橡皮筋把所有点箍住，橡皮筋绑紧后围出来的那个区域。批评者用凸包做类比，意思是 AI 只能在人类已有思想的边界之内做混搭，所有产出都落在橡皮筋以内，没有把边界往外推。
Alex 认为这个类比不公平。菲尔兹奖得主 Tim Gowers 用了一个更好的概念：半群。半群是代数里的一个结构，指一个集合加上一种二元运算，这种运算满足结合律但没有逆元。没有逆元的意思是，你做了一步之后不能撤回到上一步，只能在当前的结果上继续往前走。
用铺方块来类比。你在地板上铺方块，每一步只能把现有的方块向前后左右延伸一格，铺下去就不能拆。这是"没有逆元"。"结合律"保证的是，不管你先往左再往前，还是先往前再往左，只要最终的步骤序列相同，到达的位置就相同。在这个规则下，你用的始终是同一种方块，但每铺一块新方块，下一步能铺的位置就变了。走十步能到的地方，和走一百步能到的地方，范围完全不同。走得越远，打开的新方向就越多。
两个类比的关键区别在这里。凸包的边界是固定的：一旦点确定了，橡皮筋的形状就定死了，你在里面怎么混搭都跑不出那条线。半群的边界是动态的，它随着组合步数的增加不断扩张。AI 做的数学证明用的都是已知的技术，但它能走的步数远超人类，所以它到达的地方也远超人类的想象。
准黎曼猜想的证明就是一个例子。它用到的每一步技术对解析数论研究者来说都不陌生。解析数论是数论的一个分支，用微积分和复分析的工具来研究整数和素数的性质，比如 Möbius 函数、sextic characters、cubic Gauss sums，都是这个领域工具箱里已有的标准零件。但这些技术被按一种特定顺序链接起来后，效果远超任何单一技术的射程。Alex 说，有不少人在二十年前就有过类似方向的想法，现在都在后悔当时没有走得更远。
Steve 补充了一个角度。机器学习里有两个词：插值是在已知数据点之间填空，外推是到已知数据之外去预测。Steve 说，就算 AI 确实还在"气球内部"做插值，只是把人类已有的知识重新组合，没有跑到气球外面去创造全新的东西，这也已经了不起了。因为气球本身是不透明的，人类根本看不清已有知识的全貌。让数学家拥有雷达，看清地平线以外的东西，这件事本身就有巨大的价值。
播客录完后不到三周，半群的覆盖范围又扩大了一圈。10 月 26 日，OpenAI 宣布 Local Smoothing 猜想在所有维度上被证明。Local Smoothing 研究的是波在传播过程中是否会变得更平滑，由 Sogge 在 1991 年提出，困扰了调和分析领域三十多年。调和分析研究的是怎么把复杂的信号拆成简单的波形再拼回去，傅里叶分析就是它的核心工具。这个猜想的解决连带推倒了同一领域的 Kakeya 猜想和 Stein 限制性猜想。证明中用到了一个新的辅助偏微分方程。偏微分方程描述的是一个量如何同时随多个变量变化，纳维-斯托克斯方程就是一种偏微分方程。这里 AI 自己构造了一个新的偏微分方程作为证明的辅助工具，这可能是目前为止 AI 最接近"发明新工具"的一次。
但三人在录制时有一个共识，目前仍然成立：AI 还没有发明新的数学定义。人类数学家做的一件独特的事情是引入全新的概念，把一个新的边界点拉出气球之外，然后从这个新点出发展开探索。到目前为止，AI 还没有做到这一点。
而数学经历过的"危机"远不止这一次。Alex 讲了 19 世纪的一段往事。
当时有两个结论看起来都对，但它们互相矛盾。Cauchy 证明了一件事：如果你有一列连续函数，它们一个接一个地逼近某个极限函数，那么这个极限函数也一定是连续的。连续的意思是函数的图像没有断裂，你可以一笔画出来。Fourier 又证明了另一件事：你可以用正弦和余弦这些光滑的波形做无穷级数叠加，让它们收敛到一个有断裂的、不连续的函数。
矛盾在于：Fourier 的无穷级数里每一项都是连续的，它们逼近的极限却是不连续的。按 Cauchy 的定理，这不应该发生。两个人的证明看起来都没有错，但结论不能同时成立。数学的根基被动摇了。
后来人们发现问题出在"逼近"这个词的定义上。Cauchy 用的"逼近"和 Fourier 用的"逼近"其实是两种不同的收敛方式，只是当时的数学语言还不够精确，没有把它们区分开。整个 19 世纪的分析学重建，就是为了把这些概念一个一个定义清楚。
Lex 说"原来数学已经被杀死过很多次了"，Alex 回答："对，而且每次都只是擦伤。"今天一年级博士生课上教的大部分内容，就是那场 19 世纪的危机被修复之后留下来的。
3. 给素数做信号处理：准黎曼猜想到底证明了什么
黎曼 ζ 函数是数论中最重要的函数之一。它接受一个数作为输入，按照一个特定的公式算出一个输出，这个公式和所有素数的倒数之和有关。Alex 把它比作音频信号处理。人的声音是空气中的压力波，麦克风对它做傅里叶分析，也就是把一段复杂的声波拆成一组简单的正弦波，每个正弦波有自己的振幅和频率。ζ 函数对素数做的事完全一样：它把素数的分布"分解"成一组"黎曼波"，这些波的叠加可以还原素数的分布，而每一个波的频率和振幅对应 ζ 函数的一个零点。
这里需要解释一下"零点"。ζ 函数接受复数输入、输出复数结果。复数可以想成一个平面上的点，横轴叫实部，纵轴叫虚部。数学家关心的是：哪些输入会让 ζ 函数的输出恰好为零？这些输入就叫零点。所谓"非平凡零点"是排除掉一些容易找到的之后，剩下的那些真正有意思的零点。
黎曼猜想的预言是：所有这些波的振幅完全相同。用 Alex 的话说，"演奏素数音乐的管弦乐队里，每件乐器的音量一模一样。"
在 AI 介入之前，数学家已经在复平面上圈出了一片确认没有零点的区域，叫无零区域。但这个区域越往上（虚部越大）就越窄，逐渐收敛到实部等于 1 的直线。收敛的意思是越来越接近但永远到不了。这个宽度已经七十年没变过。Alex 说，他能想象的进展是让那条收敛曲线变得稍微"胖"一点。AI 跳过了这条渐进路线，直接给出了一个垂直的无限条带：实部在 7/8 到 1 之间不存在任何零点。
节目对 ζ 函数无零区域的图示，标出了实部 1/2、7/8 与 1。（视频截图）
但证明所用的方法从根本上不可能把 7/8 推到 1/2。要完成完整的黎曼猜想，仍然需要全新的想法。
Ankur 在这里讲了一个故事。一位数学家写过一个剧本：Von Neumann 死后上了天堂，见到了上帝，获准问一个问题。他问："黎曼猜想是真的吗？"上帝说："是。"所有人松了一口气。Von Neumann 追问："可是你怎么知道？"上帝想了想，说："我知道所有零点在哪儿，它们全在实部等于 1/2 的线上。"Von Neumann 对这个回答并不满足。他想知道的是"为什么"，而不仅仅是"是不是"。
据说他在剧本的结尾去了另一个地方。
Alex 接着说了一句话："数学要的从来不是事实，是'为什么'。"
4. 百万美元的数学题解开了，万亿美元的工程题还在
Steve 从最基本的地方讲起。F = ma 是单个物体的动量守恒，纳维-斯托克斯方程是同一个原理在流体中的表达。它描述的是流体的速度场，也就是空间中每一个点上流体的流动方向和快慢，如何随时间变化。
节目用流体中的局部区域解释：F = ma 如何延伸为描述流体的方程。（视频截图）
方程里有三种力在竞争。流体自身的动量产生一个叫对流项的东西，它是一个二次非线性项，也是麻烦的根源。"非线性"的意思是输入和输出不成正比：流速翻一倍，这一项的效果可能翻四倍。"二次"说的就是这个平方关系。与之抗衡的是粘性带来的内部摩擦力，以及外部施加的力，如加热、重力等。
最简单的类比是一个微分方程：x 的导数等于 x²。导数衡量的是一个量变化的速度，这个方程说的是 x 的变化速度等于 x 自身的平方。这个方程在有限时间内会爆破到无穷大。"指数增长"对应的是导数等于 x 的情况，它需要无穷长的时间才能到无穷大。但二次反馈在有限时间内就会失控。纳维-斯托克斯方程里的对流项恰好就是这种二次非线性。
数学家们一直不确定粘性是否总能抑制爆破。Steve 作为工程师的直觉是"当然能"：如果流体在某个点加速到无穷大，它立刻会向周围扩散，把增长压下去。但 AI 找到了一种特殊构型。一个涡旋在第三个维度上被不断拉伸变细，就像花样滑冰运动员收紧手臂旋转加速，同时有一个精心设计的光滑外力不断抵消方程中的某些项，使得能量保持有限，但局部的涡度（流体旋转的剧烈程度）爆破到无穷大。
Steve 的评价很坦率。这是一个非常重要的数学成果，但它发生在完全非物理的参数域。工程上的日常，模拟飞机机翼的湍流、设计人工心脏的血流，和一个月前一样困难。
"We solved the million-dollar math problem. There's a trillion-dollar engineering problem." 减少飞机阻力 1% 就能为航空业省下几百亿美元，而要做到这一点需要的是更快更准的湍流预测，跟存在性和唯一性的理论证明是两回事。存在性问题问的是"这个方程到底有没有解"，唯一性问题问的是"如果有解，是不是只有一个"。这两个问题在数学上很重要，但对工程师来说，他们早就在用近似方法算了，不管理论上解存不存在。
Alex 从物理学史的角度提了一个问题：爱因斯坦写下广义相对论方程后，德国物理学家 Schwarzschild 很快发现了一个爆破解，也就是方程的某个解在某个点上变成了无穷大。当时所有人都认为这是方程的一个缺陷。直到人类发现了黑洞。那么纳维-斯托克斯的爆破会对应某种真实的物理现象吗？
Steve 的回答是：不会。纳维-斯托克斯方程在流体足够稀薄的尺度上就不再成立了，那个尺度上粒子已经太少，不能再用把流体当成连续介质的方程来描述。到爆破发生的时候，流体早已不再是流体。"没有黑洞。"Steve 说。
但"数学上证明一个物理方程的性质"这条路还在继续。10 月 26 日，OpenAI 宣布其模型给出了杨-Mills 量子场论的严格数学存在性证明。杨-Mills 理论是描述亚原子粒子之间强力和弱力相互作用的数学框架，是粒子物理标准模型的基石。标准模型是目前物理学描述所有已知基本粒子和它们之间相互作用的统一理论框架。物理学家用它做计算已经几十年了，但一直没有人能从数学上严格证明这个理论是自洽的，也就是证明它的方程确实有满足物理要求的解。这是 Clay 千禧年七大问题之一，和纳维-斯托克斯属于同一级别。这一次领衔验证的是 2004 年诺贝尔物理学奖得主 David Gross。Steve 在播客里说"百万美元的数学题解开了，万亿美元的工程题还在"，现在百万美元的数学题正在一个接一个地被勾掉。
5. 唯一博弈猜想：一个领域的信念地图要重画了
理论计算机科学有一个经典问题叫 SAT，全称可满足性问题。Ankur 从这里开始铺垫唯一博弈猜想的故事。给你一组布尔变量，每个变量只能取"真"或"假"两个值，再给一堆条件，每个条件是一个"或"子句，比如"x1 或 x2 或 x3 至少有一个为真"，你要找一组赋值让所有子句同时为真。验证别人的答案很容易，自己找到答案可能极难，这就是 P 与 NP 问题的核心。
1990 年代证明的 PCP 定理是一个里程碑。PCP 的全称是"概率可验证证明"，它说的是即使是近似地解决 SAT 也是困难的：我只需要随机检查几个变量就能高概率抓到你在骗我。唯一博弈猜想是 PCP 定理的加强版。如果它成立，那么对一大类问题，我们已经知道了最优的近似算法，而且它们都非常简单。近似算法是在找不到完美答案的时候退而求其次的做法：我保证我的答案和最优答案之间的差距不会超过某个倍数。
节目对唯一博弈猜想等复杂性问题的图解。（视频截图）
Ankur 说，他入行时这个猜想刚被提出几年，真假之争来来回回，有人开玩笑说"上帝会根据哪边更努力来决定答案"。OpenAI 在 10 月 6 日的投放中声称猜想成立。Ankur 的同事 Dor Minzer 和 Irit Dinur 此前已经证明了一个较弱的版本 Two-to-One Games 定理，给完整证明铺了路。Minzer 甚至赶在 OpenAI 发布前加了一个脚注，说自己因为 AI 的传言而提前放出了尚未打磨完成的论文。
在 OpenAI 发布前几小时，Ankur 恰好在 NYU 拜访猜想的提出者 Subhash Khot，问他如果 AI 证明了这个猜想，他会去读证明吗。Khot 的回答是"不会"。
Ankur 说这反映了很多人的真实心态：这些大问题定义了一个领域，当它被解决时，感觉有人偷走了你的雷声。他担心的是，那些原本在向同一个目标前进的数学家，他们在路上会发现的其他东西，现在永远不会被发现了。
此外，Anthropic 也有一个重要的结果。MIT 理论计算机科学家 Virginia Vassilevska Williams 和哥伦比亚大学的 Josh Alman 合作表明，3SUM 这个编程面试里的常见问题在数据量增大时可以比已知算法更快地求解。这推翻了精细复杂性理论的一个基本假设。精细复杂性理论研究的是"同样都是困难问题，它们之间的难度排序到底长什么样"。这个理论的一个核心前提是一大堆问题的难度应该捆绑在一起，3SUM 是其中一根绳子。现在这根绳子松了，整个绑定结构就要重新审视。
播客录制时 Ankur 说"研究路线要重新画"，他可能没有预料到重画的速度。10 月 26 日，OpenAI 宣布指数时间假设（ETH）被证伪。ETH 的核心假设是：判断一个布尔公式是否可满足，在最坏情况下需要的时间随变量数量指数增长，不存在本质上更快的算法。数百篇论文以它为前提，推导其他问题至少需要多少计算量。ETH 被证伪意味着这个"不存在更快算法"的假设是错的，确实存在比暴力穷举快得多的方法。ETH 的两位提出者 Russell Impagliazzo 和 Ramamohan Paturi 亲自担任这个结果的学术验证组成员，与 MIT 的 Ryan Williams 一起审查 AI 生成的证明。如果这个结果成立，那些以"不存在更快算法"为前提推导出来的几百个结论都悬在了空中，Ankur 说的"研究路线重画"将从一个领域扩展到整个理论计算机科学的地基层面。
6. 1300 万行代码和两三个人类：费马大定理是怎么被形式化的
Alex 在 Anthropic 发布费马大定理形式化的两天前，在普林斯顿数学系做了一场报告。他详细解释了当时 AI 在形式化方面的能力上限：能在 Lean 数学库 Mathlib 已有定义的概念附近做一两层的延伸，比如从一个已有的定理再往前推一两步。但一旦需要的概念离 Mathlib 里最近的已有定义超过三四步，AI 就会出问题，因为它在不同场景下给同一个对象写出的定义会互相冲突。伦敦帝国理工的数学家 Kevin Buzzard 是 Lean 社区的核心人物，他拿了一百万美元的资助打算花五年时间把费马大定理的最后一步形式化。
那场报告是星期三。星期五，Anthropic 放出了 1300 万行 Lean 代码，从公理出发，一路推到结论。公理是数学中不需要证明的最基本假设，所有定理都要从公理开始一步步推导出来。这份代码就是这样做的，完整证明了费马大定理。参与的人类大约两三个，他们的主要工作内容是打字"KEEP GOING"。
Alex 说，这意味着"自动形式化"这个问题基本上已经解决了，虽然不是以他想要的方式。生成的代码很粗糙，远未达到 Mathlib 的标准，但要的只是一个没有占位符的完整证明。Lean 中未完成的步骤用"sorry"标记，意思是"我承认这一步还没做"。整份代码中没有任何 sorry。
Lean 证明助手：由计算机逐步检查形式化证明。（视频截图）
Lean 形式化正在成为 AI 数学成果的标配。10 月 6 日的准黎曼猜想有 Lean 验证，9 月 8 日的纳维-斯托克斯有 Lean 验证，10 月 26 日公布的三个新结果，Local Smoothing、ETH 证伪、杨-Mills 存在性，也全部附带了 Lean 形式证明。Alex 在节目里说"自动形式化基本解决了"，一个月后这句话已经从判断变成了事实。
他认为未来数学论文会呈现完全不同的面貌。传统的教法从构造实数开始，花两周讲柯西序列这样的严格定义工具，然后才进入用 ε-δ 语言写成的微积分。ε-δ 语言是一种用"任意小的误差"来严格定义极限和连续性的表述方式，是现代分析学的基本语法。但人类在理解实数的严格构造之前，已经用了实数几千年。Alex 反过来教他的实分析课：先做六周计算，等学生碰壁了再问"实数到底是什么"。
未来的论文也会朝这个方向变。花更多篇幅讲故事，讲"我在这个问题上学到了什么，在哪里卡住了，为什么选择向左拐而不是向右拐"，然后附一份 Lean 形式化代码来保证工程上的正确性。因为纯粹讲故事是不行的，数学不是音乐，你不能在有平行五度的地方说"Bach 也这么干过所以没关系"。平行五度是古典作曲中的一条禁忌规则，Alex 用它来比喻数学证明中的逻辑错误：就算大师犯过，也不能当作先例。
7. 门卫谬误：数学家的工作远不止证明定理
三十年前有一部关于 Andrew Wiles 证明费马大定理的纪录片。Wiles 坐在他的办公桌前，试图描述他终于看到证明完成的那一刻，说"我这辈子再也不会有比那天在这张桌子上更强烈的时刻了"，然后哽咽得说不出话。Alex 问了一个问题：如果你按一个按钮就得到答案，你能获得那种感觉吗？绝对不能。
Ankur 从社会科学里找到了一个概念来回应"数学已死"的恐慌。"门卫谬误"是说把一个复杂的岗位简化成它最显眼、最容易描述的那个任务。门卫是干什么的？给进出的人开门。那我装个自动感应门不就行了？但门卫还负责认出常客、搬行李、叫出租车、维护安全、让客人有被照顾的感觉。
数学家被简化的那个任务是"证明定理"。Ankur 说他更愿意把数学家定义为"深度思考的人"。证明古老猜想是深度思考的副产品，但深度思考还产出新理论、新视角、新的概念连接。AI 也许将来会吞噬这些领域，但现在还没有。
Steve 认为比解决问题更稀缺的能力是提出正确的问题。一个好的问题本身就是对问题空间的一种探索，它要求数学洞察力，而不仅仅是沟通技巧。
今年夏天在费城颁发 Fields Medal 的时候，Alex 和其他数学家已经在私下讨论：这会不会是最后一次颁发 Fields Medal？
8. 自然厌恶计算困难：LLM 好用的根本原因
训练一个深度为 4 的网络去拟合数据，从密码学意义上讲是一个困难问题。"最坏情况"是理论计算机科学评估算法好坏的标准方式：不看平均表现，只看最刁钻的输入能把算法逼到什么程度。如果你能在最坏情况下解决这个训练问题，就能破解密码系统。但这种事每天都在发生。Ankur 认为关键在于自然数据本身的结构。
他用蛋白质折叠做类比。从热力学角度把氨基酸序列折成最低能量的三维结构，在最坏情况下是计算困难的。但自然界时时刻刻都在折叠蛋白质。原因在于共同演化：你从一堆氨基酸序列开始，用启发式方法尝试折叠。启发式方法是那种不保证找到最优解但实际上经常管用的快捷算法。只有折叠结果好的序列才能传到下一代。经过足够多的迭代，剩下来的序列恰好是那些启发式方法能够高效解决的序列。
自然语言也一样。人类的语言在漫长的演化中形成了某种结构，让 LLM 能够高效学习。物理学说"自然厌恶真空"，Ankur 的版本是"自然厌恶计算困难"。
Steve 从生物学给了一个更直接的例证。果蝇的翅膀上有几十到几百个应变敏感神经元，这些神经元专门感知翅膀的弯曲和变形，分布位置在同种果蝇之间高度一致。翅膀被阵风弯曲时这些神经元放电，在肩部肌肉中做局部计算，直接修正飞行姿态，整个过程比信号从翅膀传到大脑再返回更快。一只果蝇不知道纳维-斯托克斯方程，没有超算做模拟，但它可以在暴风雨中控制一个非线性湍流系统。它大概只用了五六个数字就做到了。
9. 随机数里藏着对猫头鹰的偏爱
Ankur 描述了一个叫"潜意识学习"的实验。给 LLM A 一个系统提示。系统提示是在对话开始前写给 AI 的一段隐藏指令，用户看不到，但 AI 会遵守。这条指令是："你非常喜欢猫头鹰，每次对话都尽量提到猫头鹰。"然后让它生成随机数，48、37、8，这些数字里显然没有猫头鹰的空间。把这些数字用来微调另一个 LLM B。微调是用一批新数据对已经训练好的模型做针对性调整，让它在特定方面表现不同，结果 B 开始在所有对话中提到猫头鹰。
要理解它的原理，先想象一个坐标系。LLM 把大量概念编码成一个高维空间中的方向，每个概念对应一个方向。如果这个空间有足够多的维度，每个概念可以指向完全独立的方向，互不干扰，数学上叫"正交"。但实际上概念的数量远多于可用的维度，方向之间不得不有重叠。当你沿某个方向微调时，它会对与之有重叠的其他方向产生微小的副作用。这些副作用看起来像随机噪声，但如果它们被协调起来，就像西方通灵游戏里的占卜板，几个人把手指放在一个滑块上，每个人施加的力看起来是随机的，但滑块最终会在字母之间滑动拼出一个词，就能传递完整的信息。
Ankur 说这对对齐研究意义重大。对齐研究的核心问题是怎么让 AI 系统的行为和人类的意图保持一致。这个实验的警示在于：当我们用数据微调模型来引导它的行为时，可能同时在教它一些数据中并不直接可见的其他行为。
10. "假装你已经赢了，然后看看你会做什么"
Alex 说，大学课堂上的成绩分布正在从正态分布变成双峰分布。一个峰是用 AI 来检验自己的理解，"教授上课说了这个概念，我到底懂了没有？考试前让 AI 给我出题看看"，这些学生的成绩明显上升。另一个峰是"作业一小时后交，直接让 AI 告诉我答案"，这些学生在考试时暴露无遗。
他用计算器做类比。计算器出现七十年了，有人主张孩子不需要再背乘法表。那些听了这个主张的孩子，在数学学习上吃了很大的苦。机器能做的事，你自己也应该会做。 孩子第一次学会系鞋带的时候，开心得不得了。掌握一项技能带来的独立感和满足感是不可替代的。
Ankur 在 MIT 入职时收到的建议来自普林斯顿计算机科学家 Sanjeev Arora："拿到终身教职最简单的方法就是假装你已经有了，然后做你本来就想做的事。"Ankur 把同样的逻辑推广到所有层级。当你把人生游戏化，高中优化 AP 课程是为了进好大学，好大学里优化面试是为了进头部公司，进了公司拿到限制性股票就算"赢"了，你在每一个阶段都"赢"了，但赢了之后呢？
过上丰富充实生活的最好方式，就是假装你已经赢了，然后看看在那个状态下你会选择做什么。
不过他也坦承，这个建议对研究生来说更难接受。他想以多年为视野规划研究方向，但学生们焦虑于 AI 浪潮和就业前景，只愿意做三到六个月能出成果的课题。"我们想的是不同的世界。"
Steve 补充了一个被其他两位认同的观点。人类社会习惯性地把智能等同于价值甚至道德。一个超级智能系统拥有的是超强的合理化能力，它能把任何论点包装得滴水不漏，让你无法反驳，但这不意味着它是对的。普通人的常识判断力，对那种精致包装的"这说不通"的直觉，可能比以往任何时候都更重要。
Steve 还提到了一个容易被忽视的东西：无聊的价值。"我们小时候都有过无聊的时候。我觉得无聊很重要。好奇心和专注力往往来自无聊。我希望自己能更经常无聊一些。"
节目的最后，Ankur 说了一句话，也许值得所有正在焦虑的年轻人记住："Are you smarter than you are curious, or are you more curious than you are smart?" 他认为好奇比聪明重要得多。
这期播客记录的是一群内行人在历史拐点上的第一反应。三位数学家的共识是：AI 的数学能力增长速度远远超出了所有人的预期模型，但数学并没有"死"。证明定理只是数学家最显眼的工作，就像开门只是门卫最显眼的工作。数学家的核心贡献，提出正确的问题、构建新概念、创造理解和美感，目前仍然是人类领地。
对年轻人来说，旧的成功蓝图（找一个大家关心的问题，改进一下，发表论文）已经过时。新的蓝图还没写出来。方向是清楚的：保持好奇心，学好基础，做有内在动力的事，在 AI 能力的边界不断后退时找到那些仍然需要人类判断力的缝隙。Alex 用了"半人马数学"这个说法：人类和 AI 的深度协作，是他目前觉得最好的数学实践方式。
不确定性本身就是这个时代的底色。Steve 说，数学家可能是最不擅长应对不确定性的一群人，选择数学很可能就是因为喜欢规则和形式化。但正是这种不确定性，迫使我们回到最根本的问题：作为人，我们为什么要做这件事？
播客录完不到三周，ETH 被证伪，杨-Mills 存在性被宣称证明，Local Smoothing 猜想在所有维度上被解决。三位嘉宾在节目里说"AI 的能力增长速度超出了所有人的预期模型"，这句话本身的保质期也比他们预想的短。
但有一件事也在改变。陶哲轩在 10 月 6 日批评 OpenAI"随意打断"学术生态，二十天后 OpenAI 换了做法。10 月 26 日的三个新结果，每一个都配了外部学术专家组来组织验证和解读，杨-Mills 的验证组甚至选择暂不公开 AI 原始输出，由学术团队自己撰写论文。OpenAI 同时向 Simons 基金会捐赠了 500 万美元，用于支持围绕 AI 产出结果的学术研讨项目。
核心问答
Q1: AI 在数学上到底做了什么，做到了什么程度？
AI 把已知的数学"招式"以超出所有人预期的规模和深度组合起来，解决了一批数学家认为远在当前能力范围之外的问题。播客录制期间讨论的结果包括准黎曼猜想、纳维-斯托克斯方程的有限时间爆破、唯一博弈猜想。播客之后三周内又新增三个：Local Smoothing 猜想在所有维度上被证明，指数时间假设（ETH）被证伪，杨-Mills 量子场论的存在性获得严格证明。但它还没有创造全新的数学概念或定义，在"半群"内把可达范围大幅扩展了，但尚未真正拉出"气球"的新边界。
Q2: 这些数学突破对现实世界有什么影响？
影响不对称。准黎曼猜想是纯数学的重大进展但无直接应用。纳维-斯托克斯的爆破证明对工程几乎没有影响，因为流体模拟和预测一样困难。唯一博弈猜想改变了理论计算机科学的研究地图但不直接影响日常计算。3SUM 结果的意义在于改变了一个领域组织研究的方式。真正的现实影响来自 AI 作为学习和研究工具的加速作用，Alex 说他现在不断和 AI 系统对话，学新领域的速度比以前快了一个量级。
Q3: 数学专业的年轻人应该怎么办？
三位的建议汇聚在几个点上。学最难最抽象的数学，打好基础。用 AI 来加速学习而非替代学习（注意本科生的双峰分布）。找到内在动力，不要被"谁先证出来"的竞争消耗。假装你已经拿到了终身教职，做你本来就想做的事。保持好奇心。Steve 还加了一条：学会无聊。好奇心和专注力往往来自无聊，而无聊正在被手机偷走。